В нашей онлайн базе уже более 10821 рефератов!

Список разделов
Самое популярное
Новое
Поиск
Заказать реферат
Добавить реферат
В избранное
Контакты
Украинские рефераты
Статьи
От партнёров
Новости
Крупнейшая коллекция рефератов
Предлагаем вам крупнейшую коллекцию из 10821 рефератов!

Вы можете воспользоваться поиском готовых работ или же получить помощь по подготовке нового реферата практически по любому предмету. Также вы можете добавить свой реферат в базу.

Анализ экономических задач симплексным методом

Страница 2

Если свободные переменные приравнять нулю, а базис­ные переменные при этом примут неотрицательные значе­ния, то полученное частное решение системы (8) назы­вают опорным решением (планом).

Теорема. Если система векторов содер­жит m линейно независимых векторов , то допустимый план (10) является крайней точкой многогранника планов.

Теорема. Если ЗЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из крайних точек многогранника решений. Если же целевая функция достигает экстремального значения бо­лее чем в одной крайней точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся их выпуклой ли­нейной комбинацией.

§2.Графический способ решения ЗЛП.

Геометрическая интерпретация экономических задач дает возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования бо­лее сложных свойств. ЗЛП с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в простран­ствах, размерность которых больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практиче­ского значения, однако его рассмотрение проясняет свой­ства ОЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геомет­рически наглядными способы решения и пути их практи­ческой реализации.

Пусть дана задача

(11)

(12)

(13)

Дадим геометрическую интерпретацию элементов этой задачи. Каждое из ограничений (12), (13) задает на плоскости некоторую полуплоскость. Полу­плоскость — выпуклое множество. Но пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множест­вом. Отсюда следует, что область допустимых решений задачи (11) — (13) есть выпуклое множество.

Перейдем к геометрической интерпретации целевой функции. Пусть область допустимых решений ЗЛП — не­пустое множество, например многоугольник .

Выберем произвольное значение целевой функ­ции . Получим . Это уравнение пря­мой линии. В точках прямой NМ целевая функция сохра­няет одно и то же постоянное значение . Считая в ра­венстве (11) параметром, получим уравнение семей­ства параллельных прямых, называемых линиями уровня целевой функции (линиями постоянного значения).

Найдём частные производные целевой функции по и

(14)

(15)

Частная производная (14) ((15)) функции пока­зывает скорость ее возрастания вдоль данной оси. Следо­вательно, и — скорости возрастания соответст­венно вдоль осей и . Вектор называ­ется градиентом функции. Он показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции:

Вектор — указывает направление наискорейшего убывания целевой функции. Его называют антигра­диентом.

Вектор перпендикулярен к прямым семейства

Из геометрической интерпретации элементов ЗЛП вы­текает следующий порядок ее графического решения.

1. С учетом системы ограничений строим область до­пустимых решений

2. Строим вектор наискорейшего возра­стания целевой функции — вектор градиентного направ­ления.

3. Проводим произвольную линию уровня

4. При решении задачи на максимум перемещаем ли­нию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в ее крайнем по­ложении (крайней точке). В случае решения задачи на минимум линию уровня перемещают в антиградиентном направлении

5. Определяем оптимальный план и экстре­мальное значение целевой функции .

§3.Симплексный метод.

Общая идея симплексного метода (ме­тода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП состоит

1) умение находить начальный опорный план;

2) наличие признака оптимальности опорного пла­на;

3) умение переходить к нехудшему опорному плану.

Пусть ЗЛП представлена системой ограничений в каноническом виде:

.

Говорят, что ограничение ЗЛП имеет предпочтительный вид, если при неотрицательной правой части левая часть ограничений содержит переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а в остальные ограничения равенства - с коэффициентом, равным нулю.

Пусть система ограничений имеет вид

Сведем задачу к каноническому виду. Для этого прибавим к левым частям неравенств дополнительные переменные . Получим систему, эквивалентную исходной:

,

которая имеет предпочтительный вид

.

В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами, равными нулю .

Пусть далее система ограничений имеет вид

Сведём её к эквивалентной вычитанием дополнительных переменных из левых частей неравенств системы. Получим систему

Однако теперь система ограничений не имеет предпочтительного вида, так как дополнительные переменные входят в левую часть (при ) с коэффициентами, равными –1. Поэтому, вообще говоря, базисный план не является допустимым. В этом случае вводится так называемый искусственный базис. К левым частям ограниче­ний-равенств, не имеющих предпочтительного вида, добав­ляют искусственные переменные . В целевую функцию переменные , вводят с коэффициентом М в случае реше­ния задачи на минимум и с коэффициентом -М для за­дачи на максимум, где М - большое положительное число. Полученная задача называется М-задачей, соот­ветствующей исходной. Она всегда имеет предпочти­тельный вид.

1 [2] 3 4 5 6 7 8

скачать реферат скачать реферат

Новинки
Интересные новости


Заказ реферата
Заказать реферат
Счетчики

Rambler's Top100

Ссылки
Все права защищены © 2005-2019 textreferat.com