В нашей онлайн базе уже более 10821 рефератов!

Список разделов
Самое популярное
Новое
Поиск
Заказать реферат
Добавить реферат
В избранное
Контакты
Украинские рефераты
Статьи
От партнёров
Новости
Крупнейшая коллекция рефератов
Предлагаем вам крупнейшую коллекцию из 10821 рефератов!

Вы можете воспользоваться поиском готовых работ или же получить помощь по подготовке нового реферата практически по любому предмету. Также вы можете добавить свой реферат в базу.

Дискретная математика (Конспекты 15 лекций)

Страница 3

Таблица всех элементарных булевых функций, применяемых в записи формул

X

Y

0

&

_

Y®X

X

_

X®Y

Y

+

V

¯

~

_

Y

X ®Y

_X

Y®X

/

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Все эти функции от двух аргументов мы и будем называть элементарными булевыми функциями.

Основными элементарными функциями являются конъюнкция, дизъюнкция и отрицание.

Элементарные булевы функции удовлетворяют всем аксиомам булевой алгебры.

Суперпозиции булевых функций

Ф = {ф1…фk}

F называется элементарной суперпозицией функции из множества Ф, если она получена одним из следующих способов.

1. Переименование какого-нибудь аргумента в одной из функций системы (возможно отождествление аргумента).

2. В одну из функций системы вместо любого аргумента ставится значение любой функции из этой системы.

Ф1 = {Y…xn}

Фi = (x1 … фj(x1…xn) … xn)

Ф(1) – множество всех элементарных суперпозиций из системы Ф.

Ф(k+1) – множество всех элементарных суперпозиций из систему Фk.

Функция g называется суперпозицией функций из системы, если

$ N : g Î Фn

Это означает, что g можно получить из функции системы Ф, применяя конечное число раз операцию элементарной суперпозиции.

Конкретное выражение суперпозиции будем называть формулой над системой Ф.

G = Fф

Суперпозиция элементарных булевых функций – формула.

Для удобства записи договоримся, что отрицание – самая сильная операция. Следующая – конъюнкция, а остальные – равносильны.

_ _

X+Y = XY V XY

_ _

X ~ Y = XY V XY

X ® Y = X V Y

_ _

X ¯ Y = X Y

Лекция 4

Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ)

Конъюнктивные нормальные формы (КНФ)

Введем обозначения

_

Xа = X, если а = 1 и X, если а = 0

Элементарной конъюнкцией (ЭК) называется выражение вида

X1a1 X2a2…Xnan

ЭК называется правильной, если все входящие в неё переменные различны.

Правильная ЭК называется полной относительно данного набора переменных, если в неё входят все эти переменные.

Для элементарных дизъюнкций (ЭД) – аналогичный набор определений.

ЭД – выражение вида

X1a1 V X2a2 V…V Xnan

ДНФ – дизъюнкция разных правильных элементарных конъюнкций.

X1 V X1X2 V X1X2X3 – ДНФ.

ДНФ называется совершенной (СДНФ), если все входящие в неё элементарные конъюнкции полны относительно данного набора переменных.

КНФ – конъюнкция разных правильных элементарных дизъюнкций.

СКНФ – совершенная КНФ. У нее все ЭД полны.

Теорема.

Любая булева функция, тождественно не равная нулю, представима и притом единственным образом в виде СДНФ по формуле:

F(x1… xn) = V(X1a1 X2a2…Xnan)

Доказательство

I. Существование

1. F = G

N(f) Ì N(G) – носители функции.

" a Ì N (F) Þ F(a…an) = 1

G(a) = G(a…an) = (aa…anan) V (…) , где пустые скобки – оставшееся выражение.

Подставив координаты, получим:

1*1V(…) = 1 ) Þ a Ì N (G) ÞN(F) = N(G)

2. b Î N(G)

G(b bn) = 1 – тогда, когда хотя бы одна

b1a1 b2a2 …bnan = 1 Þ b1 = a …bn = an b = a Þ N(G) = N(F)

Первая часть доказана.

II. Единственность

Посчитаем, сколько полных ЭК может быть

Всего – 2n = N (по перестановке комбинаций)

Число СДНФ – 2N-1 – число различных формул СДНФ.

Это число совпадает с числом различных булевых функций от n переменных (за исключением константы 0).

Так как каждой функции ставится в соответствие формула СДНФ и число разных формул и разных функций одинаково, то каждой функции соответствует только одна формула. Теорема доказана полностью.

1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10

скачать реферат скачать реферат

Новинки
Интересные новости


Заказ реферата
Заказать реферат
Счетчики

Rambler's Top100

Ссылки
Все права защищены © 2005-2019 textreferat.com