В нашей онлайн базе уже более 10821 рефератов!

Список разделов
Самое популярное
Новое
Поиск
Заказать реферат
Добавить реферат
В избранное
Контакты
Украинские рефераты
Статьи
От партнёров

Новости
Загрузка...
Крупнейшая коллекция рефератов
Предлагаем вам крупнейшую коллекцию из 10821 рефератов!

Вы можете воспользоваться поиском готовых работ или же получить помощь по подготовке нового реферата практически по любому предмету. Также вы можете добавить свой реферат в базу.

Вычисление двойных интегралов методом ячеек

Вычисление двойных интегралов методом ячеек

Содержание.

Теоретическая часть…………………………………………3

Задание……………………………………………………… 4

Текст программы. ……………………………………………5

Блок-схема программы…………………….……………… .6

Выполнение программы в математическом пакете……… 7

Список использованной литературы…………………… 8

Теоретическая часть.

Численные методы могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида

I= (1)

Одним из простейших способов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотрим сначала случай, когда областью интегрирования G является прямоугольник: , .По теореме о среднем найдём среднее значение функции f(x,y):

S=(b-a)(d-c). (2)

Будем считать, что среднее значение приближённо равно значению функции в центре прямоугольника, т. е. . Тогда из (2) получим выражение для приближённого вычисления двойного интеграла:

(3)

Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на прямоугольные ячейки Dij (рис. 1): xi-1 i (i=1,2,…,M), yi-1 i (j=1,2,…,N). Применяя к каждой ячейке формулу (3), получим

òòDGijf(x,y)dxdy»¦()DxiDyi.

Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла:

I,j) (4)

В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивания их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функции f(x,y).

Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением

Rij»DxiDyj.

Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде

O(Dx2+Dy2).

Таким образом, формула (4) имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е. отношение M/N остаётся постоянным.

Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев её целесообразно привести к прямоугольному виду путём соответствующей замены переменных. Например, пусть область задана в виде криволинейного четырёхугольника: , . Данную область можно привести к прямоугольному виду с помощью замены , . Кроме того, формула (4) может быть обобщена и на случай более сложных областей.

Задание. Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , где – область, ограниченная функциями .

Текст программы.

#include<conio.h>

#include<iostream.h>

float f(float,float);

void main() {

const float h1=.0005,h2=.001;

float s1,x,y,i,I;

clrscr();

s1=h1*h2;

I=0;

y=h2/2;

x=1-h1/2;

for(i=0;i<1/h2;i++) {

while (y<2*x-1) {

I+=s1*f(x,y);

x-=h1;

}

y+=h2;

x=1-h1/2;

}

cout<<"Площадь интеграла равна: "<<I;

getch();

}

float f(float x,float y){

return x*x+y*y;

}

Блок-схема программы.

x=1-h1/2

Выполнение программы в математическом пакете.

h1=.0005;

h2=.001;

s1=h1*h2;

I=0;

y=h2/2;

x=1-h1/2;

for i=1:1/h2

while y<2*x-1 I=I+s1*(x*x+y*y);

x=x-h1;

end

y=y+h2;

x=1-h1/2;

end

disp('Площадь интеграла равна:');

disp(I);

В зависимости от шагов сетки получаем с различной точностью значение искомого интеграла

Площадь интеграла равна:

0.2190

Список использованной литературы.

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. т.1 – М.: Наука. 1975.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966.

3. Калиткин Н.Н Численные методы. – М.: Наука, 1978.

4. Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.

Название: Вычисление двойных интегралов методом ячеек
Раздел: Математика
Дата публикации: 2007-01-22 12:24:20
Прочтено: 685 раз

скачать реферат скачать реферат

Новинки
Интересные новости
загрузка...

Заказ реферата
Заказать реферат
Счетчики

Rambler's Top100

Ссылки
Все права защищены © 2005-2017 textreferat.com