В нашей онлайн базе уже более 10821 рефератов!

Список разделов
Самое популярное
Новое
Поиск
Заказать реферат
Добавить реферат
В избранное
Контакты
Украинские рефераты
Статьи
От партнёров
Новости
Крупнейшая коллекция рефератов
Предлагаем вам крупнейшую коллекцию из 10821 рефератов!

Вы можете воспользоваться поиском готовых работ или же получить помощь по подготовке нового реферата практически по любому предмету. Также вы можете добавить свой реферат в базу.

Векторы

Страница 3

Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладных науках, явилось плодотворным и в геометрии. Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение некоторых сложных геометрических понятий, доказательства некоторых теорем школьного курса геометрии, позволил создать особый метод решения различных геометрических задач.

Рассмотрим доказательство некоторых теорем с помощью векторов.

Теорема 1.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказательство.

Пусть АВСD – данный ромб (рис.7). Введем обозначения: АВ = а, ВС = в. Из определения ромба: АВ = DC = а, AD = ВС = в.

По определению суммы и разности векторов АС = а + в; DВ = а – в.

Рассмотрим АС * DВ = (а + в )( а – в) = а2 – в2 .

Так как стороны ромба равны, то а = в. Следовательно, AC * DB =0. Из последнего получаем АС DВ, т.е. DB АС. Ч.т.д.

Рассмотрим теперь решение задач с помощью векторов.

Задача 1.

Даны два вектора AB и CD, причем А( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С( -1; -2; 2) и D(2; 1;5).

Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение.

Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD = (3; 3; 3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

АВ х СD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

Последнее и означает, что АВ СD.

Задача 2.

Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.

Решение.

Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с:

ВС = а, СА = в, АВ = с

(рис.8). Тогда

АD = АВ + ВD = АВ += с +

аналогично определяются и другие медианы:

ВЕ = а + , СF = в +

Так как, в силу условия замкнутости

ВС + СА + АВ = а + в + с =0,

то мы имеем:

АD + ВЕ + СF = ( с + ) + (а + ) + ( в + ) = ( а + в + с) = х 0 = 0.

Следовательно, отложив от точки В, вектор В1С1 = ВЕ и от точки С1 – вектор С1D1 = СF, мы получим.

А1В1 + В1С1 + С1D1 = АD + ВЕ + СF = 0.

А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А1В1С1D1 является замкнутой, т.е. точка D1 совпадает с А1.

Таким образом, мы получаем треугольник А1В1С1 (рис.9), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.

Задача 3.

Доказать, что для любого треугольника имеет место формула

с2 = а2 + в2 – 2ав х соs С(теорема косинусов)

Решение.

1 2 [3] 4

скачать реферат скачать реферат

Новинки
Интересные новости


Заказ реферата
Заказать реферат
Счетчики

Rambler's Top100

Ссылки
Все права защищены © 2005-2019 textreferat.com